Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики.
Определение:
Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания.
Высказывания строятся над множеством {B, 
, 
, 
, 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:
, , , 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:
а логический ноль 0 и логическая единица 1 — константы.
Так же используются названия
- Дизъю́нкт — пропозициональная формула, являющаяся дизъюнкцией одного или более литералов (например
). - Конъюнкт — пропозициональная формула, являющаяся конъюнкцией одного или более литералов (например
).
Унарная операция отрицания в тексте формул оформляется либо в виде значка перед операндом (
) либо в виде черты над операндом (
), что компактнее, но в целом менее заметно.
) либо в виде черты над операндом (), что компактнее, но в целом менее заметно.Аксиомы
, 
Логические операции
Простейший и наиболее широко применяемый пример такой алгебраической системы строится с использованием множества B, состоящего всего из двух элементов:
- B = { Ложь, Истина }
Как правило, в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нулём, а Истина — с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании. Легко показать[неопределённость], что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений и все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.
Опираясь на этот математический инструментарий, логика высказываний изучает высказывания и предикаты. Также вводятся дополнительные операции, такие как эквиваленция 
(«тогда и только тогда, когда»), импликация 
(«следовательно»), сложение по модулю два 
(«исключающее или»), штрих Шеффера 
, стрелка Пирса 
и другие.
(«тогда и только тогда, когда»), импликация («следовательно»), сложение по модулю два («исключающее или»), штрих Шеффера , стрелка Пирса и другие.
Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция 
приобретает смысл вычитания из единицы; — немодульного сложения; & — умножения; — равенства; — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR); — непревосходства суммы над 1 (то есть A B = (A + B) <= 1).
приобретает смысл вычитания из единицы; — немодульного сложения; & — умножения; — равенства; — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR); — непревосходства суммы над 1 (то есть A B = (A + B) <= 1).
Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено»), комплексную логику и др.
Комментариев нет:
Отправить комментарий