Математика 9 класс: Абсолютная величина

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа

x

(в математике) — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа

x

. Обозначается:

~|x|

В случае вещественного

x

абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

\ |x| = \begin{cases} \ \ x, & x \geqslant 0 \\ -x, & \ x < 0 \end{cases}

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа

~z=x+iy,

также иногда называемый абсолютной величиной. Он определяется по формуле:

|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}

Основные свойства:

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина

~|x_1 - x_2|

означает расстояние между точками

~x_1

~x_2

и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа

Область определения: $(- \infty ; + \infty )$ .
Область значений: $~ [0; + \infty )$ .
Функция чётная.
Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке $x = 0$ функция претерпевает излом.

Комплексные числа

Область определения: вся комплексная плоскость.
Область значений: $~ [0; + \infty )$ .
Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Алгебраические свойства:

Для любых вещественных чисел

~a, b

имеют место следующие соотношения:

$~\ |x| = \sqrt {x^2} = x \cdot \sgn x = {\rm max}\,\{x,\,-x \}$
$a \leqslant |a|$
$-|a| \leqslant a$ .
Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: $~|a|^2 = a^2$

Как для вещественных, так и для комплексных

~a, b

имеют место соотношения:

Модуль любого числа равен либо больше нуля: $|a| \geqslant 0$ , причём $|a|=0$ тогда и только тогда, когда $~a=0$
Модули противоположных чисел равны: $|-a| = |a|$
Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: $|ab| = |a||b|$
Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: $~~~ \left| \frac {a} {b} \right| = \frac {|a|} {|b|}$
Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: $|ab| = a|b|, a>0$
$|a+b| \leqslant |a|+|b|$ (неравенство треугольника).
$|a-b| \leqslant |a|+|b|$ .
$~|a|-|b| \leqslant |a+b|$ .
$~|a \pm b| \geqslant ||a|-|b||$ .
$~|a^k| = |a|^k$ , если $~a^k$ существует.