Признаки подобия треугольников

Подобные треугольники — треугольники, углы которых соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. 

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.

1-ый признак:

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

то есть: 

Дано:  и 

Доказать: 

Доказательство[показать]

Следствия первого признака подобия[править | править вики-текст]

• Если три разные стороны исходного треугольника попарно параллельны (дважды антипараллельны или перпендикулярны) трем разным сходственным сторонам другого треугольника, то указанные два треугольника с попарно параллельными (дважды антипараллельными или перпендикулярными) сторонами подобны. Примеры применения этого следствия см. ниже в разделах: "Примеры подобных треугольников" и "Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников".
• Под дважды антипараллельными сторонами понимается следующее. Например, стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат. В таком случае соответствующие стороны ортотреугольника ортотреугольника (дважды ортотреугольника) дважды антипараллельны соответствующим сторонам исходного треугольника, то есть просто параллельны. Следовательно, подобны, например,ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник, как треугольники с параллельными сторонами.

Второй признак[править | править вики-текст]

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Дано:  и  Доказать: 

Доказательство

Третий признак[править | править вики-текст]

Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Дано: ∆ABC и ∆A₁B₁C₁,  =  = .

Доказать: ∆ABC  ∆A₁B₁C₁.

Доказательство]

Признаки подобия прямоугольных треугольников[править | править вики-текст]

1. По острому углу — см. первый признак;
2. По двум катетам — см. второй признак;
3. По катету и гипотенузе — см. третий признак.

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
• Отношение объёма подобных стереометрических фигур равно кубу коэффициента подобия
• Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.

Примеры подобных треугольников

Подобных следующие виды треугольников:

• Дополнительный треугольник и антидополнительный треугольник подобны; соответственные их стороны параллельны.
• Данный треугольник ABC подобен своему дополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 2:1.
• Данный треугольник ABC подобен своему антидополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 1:2.
• Исходный треугольник  по отношению к ортотреугольнику является треугольником трех внешних биссектрис^[1].
• Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, §66, с. 81).
• Ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник подобны.
• Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
• Пусть, точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности сторон родственных треугольников.
• Теорема: окружностно-чевианный треугольник подобен подерному^[2]. Здесь использованы определения:
  • Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.
  • Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников:

• Соответственные стороны дополнительного треугольника, антидополнительного треугольника и исходного треугольника попарно параллельны.
• Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Пусть, точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Подобие в прямоугольном треугольнике

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

• Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу,
• Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Связанные определения

• Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
• Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.