Dlya osobo одаренных

пятница, 6 мая 2016 г.

Арифметическая прогрессия


Арифмети́ческая прогре́ссия (алгебраическая) — числовая последовательность вида
a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots,
то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага, или разности прогрессии):
a_n=a_{n-1} + d \quad
Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
a_n=a_1 + (n-1)d
Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При d>0 она является возрастающей, а при d<0 — убывающей. Если d=0, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения a_{n+1}-a_n=d для членов арифметической прогрессии.
Свойства:

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле
a_n=a_1+(n-1)d, где a_1 — первый член прогрессии, d — её разность.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность a_1, a_2, a_3, \ldots есть арифметическая прогрессия \Leftrightarrow для любого её элемента выполняется условие a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n может быть найдена по формулам
S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n , где a_1 — первый член прогрессии, a_n — член с номером n, n — количество суммируемых членов.
S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot (\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1) — формула Алпеева , где a_1 — первый член прогрессии, a_2 — второй член прогрессии , a_n — член с номером n.
S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n , где a_1 — первый член прогрессии, d — разность прогрессии, n — количество суммируемых членов.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть a_1, a_2, a_3, \ldots — арифметическая прогрессия с разностью d и число a>0. Тогда последовательность вида a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots есть геометрическая прогрессия со знаменателем a^d.
Примеры:
  • Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5, \ldots — это арифметическая прогрессия, в которой первый член a_1=1, а разность d=1.
  • 1, -1, -3, -5, -7 — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой a_1=1 и d=-2.
  • Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу a, то это есть арифметическая прогрессия, в которой a_1=a и d=0. В частности, \pi, \pi, \pi, \ldots есть арифметическая прогрессия с разностью d=0.
  • Сумма первых n натуральных чисел выражается формулой
1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2.

Автор: на
Ярлыки: ,

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)